随机分割长度为 1 的线段：任意三段都能组成三角形的概率
@山东好旱
问题：将长度为1的线段随机分成 \(n\) 段(\(n\ge 3\))，求其中每三段都可以组成三角形的概率。
把线段随机切成 \(n\) 段（\(n\ge3\)）。我们用小奥可理解的套路：
排序 \(\rightarrow\) 增量 \(d\)（“身高差”）\(\rightarrow\) 变量“搬家”\(\rightarrow\) “系数乘积比例法”。
只需检查：\(y_n<y_1+y_2\)
原价表 → 搬家 → 涨价表
结果：\(\;P=\dfrac{1}{\binom{2n-2}{n}}\)
最终答案
Result概率
\[
P=\frac{n!(n-2)!}{(2n-2)!}=\frac{1}{\binom{2n-2}{n}},\qquad n\ge 3.
\]
校验：\(n=3\Rightarrow 1/4\)，\(n=4\Rightarrow 1/15\)，\(n=5\Rightarrow 1/56\)。
一、先把条件“化到最难那组三段”
设切出的长度为 \(x_1,\dots,x_n>0\)，且 \(\sum x_i=1\)。把它们排序：
\(y_1\le y_2\le\cdots\le y_n\)。
关键等价：
“任意三段都能成三角形” 当且仅当 \(y_n<y_1+y_2\)。
因为任何三段里最大那段 \(\le y_n\)，另外两段之和 \(\ge y_1+y_2\)。
一句话记忆
- 最难过关永远是：最长那段 vs 最短两段。
- 只要 \(y_n<y_1+y_2\) 成立，其余三段组合都自动成立。
二、比例法原理（小奥直觉版）
看二维就够：在第一象限，区域 \(ax+by\le 1\) 是直角三角形，截距是 \(1/a\) 与 \(1/b\)，
面积
\[ S=\frac12\cdot\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}\ \propto\ \frac{1}{ab}. \]
所以“把某个系数乘大 \(k\) 倍”，相当于把对应方向压缩 \(k\) 倍；总大小按各方向压缩倍数相乘。
图：\(x+y\le 1\) 与 \(2x+3y\le 1\)（截距缩放）
斜线三角形的 x 截距变成 \(1/2\)，y 截距变成 \(1/3\)，面积就按 \((1/2)\cdot(1/3)\) 缩小，即 \(\propto 1/(2\cdot3)\)。
为什么概率 = “原价系数乘积” / “涨价系数乘积”？
这一句其实就是把“同一类线性约束下的区域大小”用一个最朴素的缩放直觉算出来。
我们只看非负变量的情形：
Key系数缩放 = 坐标压缩
设 \(t_1,\dots,t_k\ge0\)，考虑区域
\(\;a_1t_1+a_2t_2+\cdots+a_kt_k\le 1\;\)。
把每个方向做变量替换：
\[
u_i=a_i t_i\quad (i=1,\dots,k).
\]
这等价于把第 \(i\) 个坐标轴沿该方向“压缩” \(a_i\) 倍：
\(t_i=u_i/a_i\)。
因此整个 \(k\) 维体积会被压缩
\(a_1a_2\cdots a_k\) 倍（每个方向的缩放倍数相乘）。
\[
\text{所以区域大小}\ \propto\ \frac{1}{a_1a_2\cdots a_k}.
\]
回到本题：我们把排序后的长度用增量变量 \(d_1,\dots,d_n\) 表示后，
“所有切法”对应的就是一个形如
\(\;A_1d_1+\cdots+A_nd_n=1,\ d_i\ge0\;\) 的区域（原价表）。
施加三角形条件并做“搬家”替换后，仍然得到同样形状的一块区域，只是系数变成了
\(\;B_1,\dots,B_n\;\)（涨价表）。
一句话结论
- 原区域大小 \(\propto 1/(A_1\cdots A_n)\)
- 新区域大小 \(\propto 1/(B_1\cdots B_n)\)
- 概率 = 新/原 = \(\dfrac{1/(B_1\cdots B_n)}{1/(A_1\cdots A_n)}=\dfrac{A_1\cdots A_n}{B_1\cdots B_n}\)
三、\(n=3\)：用 \(y_1,y_2,y_3\) 和 \(d_1,d_2,d_3\)（同 n=4 结构）
排序后 \(y_1\le y_2\le y_3\)，条件是 \(y_3<y_1+y_2\)。
令
\[ d_1=y_1,\quad d_2=y_2-y_1,\quad d_3=y_3-y_2,\quad (d_i\ge 0). \]
则 \(y_1=d_1,\ y_2=d_1+d_2,\ y_3=d_1+d_2+d_3\)。
原价表 → 条件 → 搬家 → 涨价表
\[
y_1+y_2+y_3=1\ \Rightarrow\ 3d_1+2d_2+d_3=1\quad(\text{原价表})
\]
\[
y_3<y_1+y_2\ \Leftrightarrow\ d_1>d_3
\]
\[
u=d_1-d_3\ge0\ \Rightarrow\ d_1=u+d_3
\]
\[
3d_1+2d_2+d_3=1\ \Rightarrow\ 3u+2d_2+4d_3=1\quad(\text{涨价表})
\]
\[
P=\frac{3\cdot2\cdot1}{3\cdot2\cdot4}=\frac14.
\]
四、\(n=4\)：系数 \(4,3,2,1\) 如何变成 \(4,3,6,5\)
同样设 \(d_1=y_1,\ d_2=y_2-y_1,\ d_3=y_3-y_2,\ d_4=y_4-y_3\)。
四行推完
\[
y_1+y_2+y_3+y_4=1\ \Rightarrow\ 4d_1+3d_2+2d_3+d_4=1
\]
\[
y_4<y_1+y_2\ \Leftrightarrow\ d_1>d_3+d_4
\]
\[
u=d_1-(d_3+d_4)\ge0\ \Rightarrow\ d_1=u+d_3+d_4
\]
\[
4d_1+3d_2+2d_3+d_4=1\ \Rightarrow\ 4u+3d_2+6d_3+5d_4=1
\]
\[
P=\frac{4\cdot3\cdot2\cdot1}{4\cdot3\cdot6\cdot5}=\frac1{15}.
\]
五、推广到一般 \(n\)
仍令 \(d_1=y_1,\ d_k=y_k-y_{k-1}\ (k\ge2)\)，则 \(d_i\ge0\) 且 \(y_k=d_1+\cdots+d_k\)。
三句完成推广
\[
\text{原价表：}\quad n d_1+(n-1)d_2+(n-2)d_3+\cdots+1\cdot d_n=1.
\]
\[
\text{条件：}\quad y_n<y_1+y_2\ \Leftrightarrow\ d_1>d_3+d_4+\cdots+d_n.
\]
\[
\text{搬家：}\quad u=d_1-(d_3+\cdots+d_n)\ge0\ \Rightarrow\ d_1=u+d_3+\cdots+d_n.
\]
\[
\text{涨价表：}\quad n u+(n-1)d_2+(2n-2)d_3+(2n-3)d_4+\cdots+(n+1)d_n=1.
\]
\[
P=\frac{n!}{n(n-1)(2n-2)(2n-3)\cdots(n+1)}
=\frac{n!(n-2)!}{(2n-2)!}
=\frac{1}{\binom{2n-2}{n}}.
\]
| n | \(\binom{2n-2}{n}\) | \(P\) | 小数 |
|---|
| 3 | \(\binom{4}{3}=4\) | \(1/4\) | 0.25 |
| 4 | \(\binom{6}{4}=15\) | \(1/15\) | 0.066666… |
| 5 | \(\binom{8}{5}=56\) | \(1/56\) | 0.017857… |
| 6 | \(\binom{10}{6}=210\) | \(1/210\) | 0.0047619… |